Karta pracy 8–12.10

2026-10-07

Pięć dni, po 15 minut dziennie. Od czwartku 8.10 do poniedziałku 12.10.2026.

Dzień: D1 czw. · D2 pt. · D3 sob. · D4 niedz. · D5 pon.

Bloki „Droga do rozwiązania” i „Odpowiedź” znajdziesz na stronie zbeegnew.dev/nauka/karta-2026-10-08/.

Jeśli chcesz pracować na papierze, to wydrukuj tę stronę. Na komputerze naciśnij Ctrl+P. W telefonie otwórz menu przeglądarki i wybierz „Drukuj”. Na wydruku nie ma bloków „Droga do rozwiązania” i „Odpowiedź”.

Jak pracować

  1. Przygotuj kartkę i długopis.
  2. Pracuj 15 minut dziennie. Jeden dzień to jedna część karty pracy.
  3. Na rozgrzewkę włącz stoper. Zatrzymaj go po ostatnim działaniu.
  4. Pisz jeden krok w jednej linii.
  5. Obok każdego kroku zapisz krótką notatkę: co robisz.
  6. Przy nawiasie narysuj strzałki od liczby przed nawiasem do każdego wyrazu w nawiasie.
  7. Jeśli zadanie ma więcej niż 3 kroki, to w połowie zatrzymaj się i sprawdź znaki.
  8. Najpierw rozwiąż zadanie sam. Potem otwórz blok „Droga do rozwiązania”.
  9. Porównaj swoje kroki z blokiem „Droga do rozwiązania”, linia po linii.
  10. Na końcu otwórz „Odpowiedź”.
  11. Jeśli masz błąd, to zaznacz tę linię. Obok zapisz, co poszło źle.
  12. Jeśli minie 15 minut, to skończ zadanie, które robisz, i przerwij. W dzienniku wpisz, ile zadań zrobiłeś.

Fiszki w Anki to osobna praca, około 10 minut dziennie. Talia i instrukcja są na stronie Fiszki Anki.

Dziennik

Przepisz tabelę na kartkę albo ją wydrukuj. Wypełnij jeden wiersz po każdym dniu.

Dzień Data Czas rozgrzewki Rozgrzewka (ile dobrze z 6/12) Zadania dobrze Uwagi
D1 czw. 8.10 … z 12 … z 5
D2 pt. 9.10 … z 6 … z 5
D3 sob. 10.10 … z 6 … z 5
D4 niedz. 11.10 … z 6 … z 5
D5 pon. 12.10 … z 6 … z 5

Po dniu D5 zrób zdjęcie tabeli. Wyślij je razem z cotygodniowym zrzutem ekranu statystyk z Anki.

D1, czwartek 8.10: Rozgrzewka znaków

Dziś: rozgrzewka (12 działań), 1 przykład, 5 zadań. Zadanie 5 jest z funkcji kwadratowej.

Rozgrzewka (12 działań)

Włącz stoper. Policz w pamięci i zapisz same wyniki. Zatrzymaj stoper i zapisz czas w dzienniku.

  1. −7 − (−12) = ____
  2. −11 + 4 = ____
  3. 8 − 13 = ____
  4. −6 − 9 = ____
  5. 4 − (−11) = ____
  6. −13 + 20 = ____
  7. −5 − 12 + 9 = ____
  8. (−3)·(−3) = ____
  9. −4·7 = ____
  10. (−8)·6 = ____
  11. −9·(−7) = ____
  12. 6·(−7) = ____
Odpowiedź
  1. 5
  2. −7
  3. −5
  4. −15
  5. 15
  6. 7
  7. −8
  8. 9
  9. −28
  10. −48
  11. 63
  12. −42

Policz dobre wyniki. Wpisz do dziennika liczbę z 12.

Przykład

Oblicz: −5 − (−8) + (−2)·(−4) − 10

Nr Zapis Notatka
1 −5 − (−8) + (−2)·(−4) − 10 Zapis zadania.
2 −5 + 8 + (−2)·(−4) − 10 − (−8) to + 8.
3 −5 + 8 + 8 − 10 (−2)·(−4) = 8. Minus razy minus daje plus.
Stop: sprawdź znaki. Porównaj z linią 1. Czy −5 i −10 nadal mają minus?
4 3 + 8 − 10 −5 + 8 = 3
5 11 − 10 3 + 8 = 11
6 1 11 − 10 = 1

Wynik: 1

Zasady na dziś:

  • Odjąć liczbę ujemną to dodać liczbę przeciwną: 2 − (−5) = 2 + 5 = 7.
  • Przy dodawaniu liczb o różnych znakach znak wyniku daje liczba dalej od zera: −12 + 4 = −8.
  • Reguła „minus razy minus daje plus” działa w mnożeniu i dzieleniu: (−2)·(−6) = 12.
  • W dodawaniu ta reguła nie działa: −4 − 5 = −9.
  • Kolejność: najpierw mnożenie, potem dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej.

Zadanie 1 z 5

Oblicz: −11 + 3 − (−4) − 8

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 −11 + 3 − (−4) − 8 Zapis zadania.
2 −11 + 3 + 4 − 8 − (−4) to + 4.
Stop: sprawdź znaki. Porównaj z linią 1. Zmienił się znak tylko przy 4.
3 −8 + 4 − 8 −11 + 3 = −8
4 −4 − 8 −8 + 4 = −4
5 −12 −4 − 8 = −12
Odpowiedź

−12

Zadanie 2 z 5

Oblicz: (−3)·(−5) − 4·(−2) + (−7)

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 (−3)·(−5) − 4·(−2) + (−7) Zapis zadania.
2 15 − 4·(−2) + (−7) (−3)·(−5) = 15
3 15 − (−8) + (−7) 4·(−2) = −8. Minus przed 4 zostaje przed nawiasem.
Stop: sprawdź znaki. Czy przed (−8) nadal stoi minus z linii 1?
4 15 + 8 − 7 − (−8) to + 8. + (−7) to − 7.
5 23 − 7 15 + 8 = 23
6 16 23 − 7 = 16
Odpowiedź

16

Zadanie 3 z 5

Oblicz: 9 − 14 − 6·(−3) − 20

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 9 − 14 − 6·(−3) − 20 Zapis zadania.
2 9 − 14 − (−18) − 20 6·(−3) = −18
3 9 − 14 + 18 − 20 − (−18) to + 18.
Stop: sprawdź znaki. Czy −20 na końcu nadal ma minus?
4 −5 + 18 − 20 9 − 14 = −5
5 13 − 20 −5 + 18 = 13
6 −7 13 − 20 = −7
Odpowiedź

−7

Zadanie 4 z 5

Oblicz: −2·(−8 + 5) − (−12)

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 −2·(−8 + 5) − (−12) Zapis zadania.
2 −2·(−3) − (−12) Najpierw nawias: −8 + 5 = −3
3 6 − (−12) −2·(−3) = 6
Stop: sprawdź znaki. Czy −2·(−3) dało plus?
4 6 + 12 − (−12) to + 12.
5 18 6 + 12 = 18
Odpowiedź

18

Zadanie 5 z 5

Funkcja kwadratowa: f(x) = −x² + 4x − 3. Oblicz f(−2).

Wskazówka: za każde x wstaw (−2) w nawiasie. Minus przed x² zostaje przed nawiasem.

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 f(−2) = −(−2)² + 4·(−2) − 3 Za każde x wstaw (−2).
2 f(−2) = −4 + 4·(−2) − 3 (−2)² = 4. Minus przed potęgą zostaje.
Stop: sprawdź znaki. Czy −(−2)² dało −4, a nie +4?
3 f(−2) = −4 − 8 − 3 4·(−2) = −8
4 f(−2) = −12 − 3 −4 − 8 = −12
5 f(−2) = −15 −12 − 3 = −15
Odpowiedź

f(−2) = −15

D2, piątek 9.10: Od liczb do wyrażeń. Dokończ redukcję

Dziś: rozgrzewka (6 działań), 1 przykład, 5 zadań. Zadanie 5 jest z funkcji kwadratowej.

Rozgrzewka (6 działań)

Włącz stoper. Policz w pamięci i zapisz same wyniki. Zatrzymaj stoper i zapisz czas w dzienniku.

  1. −8 − (−3) = ____
  2. −12 + 5 = ____
  3. 6 − 15 = ____
  4. −9 − 9 = ____
  5. 11 + (−16) = ____
  6. −4 − (−13) = ____
Odpowiedź
  1. −5
  2. −7
  3. −9
  4. −18
  5. −5
  6. 9

Policz dobre wyniki. Wpisz do dziennika liczbę z 6.

Przykład

Uprość: −4(3x − 2) + 5x − 14

Nr Zapis Notatka
1 −4(3x − 2) + 5x − 14 Zapis zadania. Narysuj strzałki od −4 do 3x i do −2.
2 −12x + 8 + 5x − 14 −4·3x = −12x, −4·(−2) = 8
Stop: sprawdź znaki. Czy −4·(−2) dało +8?
3 −12x + 5x + 8 − 14 Wyrazy z x obok siebie. Każdy wyraz idzie ze swoim znakiem.
4 −7x + 8 − 14 −12x + 5x = −7x, tak jak −12 + 5 = −7
5 −7x − 6 8 − 14 = −6

Wynik: −7x − 6

Zasady na dziś:

  • Z literą liczysz tak samo jak bez litery: −12 + 5 = −7, więc −12x + 5x = −7x.
  • Wyrazy podobne mają tę samą literę w tej samej potędze. −12x i 5x są podobne.
  • 3x² i 5x nie są podobne. Liczba bez x i wyraz z x też nie są podobne.
  • Uprość do końca. W wyniku każdy rodzaj wyrazu występuje tylko raz.

Zadanie 1 z 5

a) Oblicz: −6 + 14 − 9

b) Uprość: −6x + 14x − 9x

Droga do rozwiązania

a)

Nr Zapis Notatka
1 −6 + 14 − 9 Zapis zadania.
2 8 − 9 −6 + 14 = 8
3 −1 8 − 9 = −1

b)

Nr Zapis Notatka
1 −6x + 14x − 9x Zapis zadania. Te same liczby co w a).
2 8x − 9x −6x + 14x = 8x
3 −x 8x − 9x = −1x. Zapisz −x.
Odpowiedź

a) −1

b) −x

Zadanie 2 z 5

Ktoś zapisał wynik: 5x² − 7x + 12 + 3x − 2x² − 15. To nie jest koniec. Dokończ redukcję.

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 5x² − 7x + 12 + 3x − 2x² − 15 Zapis zadania.
2 5x² − 2x² − 7x + 3x + 12 − 15 Wyrazy podobne obok siebie. Każdy wyraz idzie ze swoim znakiem.
Stop: sprawdź znaki. W linii 1 i w linii 2 jest po 6 wyrazów. Czy znaki są te same?
3 3x² − 7x + 3x + 12 − 15 5x² − 2x² = 3x²
4 3x² − 4x + 12 − 15 −7x + 3x = −4x
5 3x² − 4x − 3 12 − 15 = −3. Koniec: 3x², −4x i −3 nie są podobne.
Odpowiedź

3x² − 4x − 3

Zadanie 3 z 5

Uprość: −3(2x − 5) + 4x

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 −3(2x − 5) + 4x Zapis zadania. Narysuj strzałki od −3 do 2x i do −5.
2 −6x + 15 + 4x −3·2x = −6x, −3·(−5) = 15
Stop: sprawdź znaki. Czy −3·(−5) dało +15?
3 −6x + 4x + 15 Wyrazy z x obok siebie.
4 −2x + 15 −6x + 4x = −2x
Odpowiedź

−2x + 15

Zadanie 4 z 5

Uprość: 6 − 2(4x − 7) − (x + 9)

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 6 − 2(4x − 7) − (x + 9) Zapis zadania. Narysuj strzałki od −2 do 4x i do −7.
2 6 − 8x + 14 − (x + 9) −2·4x = −8x, −2·(−7) = 14
3 6 − 8x + 14 − x − 9 Minus przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu w nawiasie.
Stop: sprawdź znaki. Czy −2·(−7) dało +14? Czy −(x + 9) dało −x − 9?
4 −8x − x + 6 + 14 − 9 Wyrazy z x obok siebie.
5 −9x + 6 + 14 − 9 −8x − x = −9x
6 −9x + 20 − 9 6 + 14 = 20
7 −9x + 11 20 − 9 = 11
Odpowiedź

−9x + 11

Zadanie 5 z 5

Funkcja kwadratowa: f(x) = 2x² − 5x − 3. Oblicz Δ.

Wskazówka: Δ = b² − 4ac. Odczytaj a, b i c razem ze znakami.

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 a = 2, b = −5, c = −3 Odczytaj współczynniki razem ze znakami.
2 Δ = b² − 4ac Wzór.
3 Δ = (−5)² − 4·2·(−3) Wstaw liczby. Liczby ujemne wstaw w nawiasach.
4 Δ = 25 − 4·2·(−3) (−5)² = 25
Stop: sprawdź znaki. Czy (−5)² dało +25?
5 Δ = 25 − (−24) 4·2·(−3) = −24
6 Δ = 25 + 24 − (−24) to + 24.
7 Δ = 49 25 + 24 = 49
Odpowiedź

Δ = 49

D3, sobota 10.10: Waga i sprawdzenie podstawieniem

Dziś: rozgrzewka (6 działań), 1 przykład, 5 zadań. Zadanie 5 jest z funkcji kwadratowej.

Rozgrzewka (6 działań)

Włącz stoper. Policz w pamięci i zapisz same wyniki. Zatrzymaj stoper i zapisz czas w dzienniku.

  1. −15 + 8 = ____
  2. 3 − 11 = ____
  3. −6 − (−14) = ____
  4. −10 − 10 = ____
  5. 17 + (−19) = ____
  6. −5 + 9 − 13 = ____
Odpowiedź
  1. −7
  2. −8
  3. 8
  4. −20
  5. −2
  6. −9

Policz dobre wyniki. Wpisz do dziennika liczbę z 6.

Przykład

Rozwiąż równanie: 3x + 7 = −8

Nr Zapis Notatka
1 3x + 7 = −8 | −7 Zapis zadania. Po lewej jest +7, więc odejmij 7 od obu stron.
2 3x = −15 | :3 7 − 7 = 0, −8 − 7 = −15
3 x = −5 −15 : 3 = −5

Sprawdzenie: L = 3·(−5) + 7 = −15 + 7 = −8, P = −8, więc L = P.

Wynik: x = −5

Zasady na dziś:

  • Równanie jest jak waga. Jeśli coś robisz z lewą stroną, to zrób to samo z prawą.
  • Działanie zapisz za kreską na końcu linii, na przykład | −7 albo | :3.
  • Przy dzieleniu przez liczbę ujemną zapisz ją w nawiasie: | :(−2).
  • Na końcu wstaw wynik do równania. Policz osobno lewą stronę (L) i prawą stronę (P).
  • Jeśli L = P, to wynik jest dobry.

Zadanie 1 z 5

Rozwiąż równanie. Zapisz działanie za kreską. Zakończ sprawdzeniem.

−2x − 9 = 5

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 −2x − 9 = 5 | +9 Zapis zadania. Po lewej jest −9, więc dodaj 9 do obu stron.
2 −2x = 14 | :(−2) −9 + 9 = 0, 5 + 9 = 14
3 x = −7 14 : (−2) = −7

Sprawdzenie: L = −2·(−7) − 9 = 14 − 9 = 5, P = 5, więc L = P.

Odpowiedź

x = −7

Zadanie 2 z 5

Rozwiąż równanie. Zapisz działanie za kreską. Zakończ sprawdzeniem.

4(x − 3) = 2x − 20

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 4(x − 3) = 2x − 20 Zapis zadania. Narysuj strzałki od 4 do x i do −3.
2 4x − 12 = 2x − 20 | −2x 4·x = 4x, 4·(−3) = −12
Stop: sprawdź znaki. Czy po prawej nadal jest −20?
3 2x − 12 = −20 | +12 4x − 2x = 2x, 2x − 2x = 0
4 2x = −8 | :2 −12 + 12 = 0, −20 + 12 = −8
5 x = −4 −8 : 2 = −4

Sprawdzenie: L = 4·(−4 − 3) = 4·(−7) = −28, P = 2·(−4) − 20 = −8 − 20 = −28, więc L = P.

Odpowiedź

x = −4

Zadanie 3 z 5

Rozwiąż równanie. Zapisz działanie za kreską. Zakończ sprawdzeniem.

5 − 3(x + 2) = x + 11

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 5 − 3(x + 2) = x + 11 Zapis zadania. Narysuj strzałki od −3 do x i do 2.
2 5 − 3x − 6 = x + 11 −3·x = −3x, −3·2 = −6
3 −3x − 1 = x + 11 | −x 5 − 6 = −1
Stop: sprawdź znaki. Czy −3·2 dało −6? Czy po prawej nadal jest x + 11?
4 −4x − 1 = 11 | +1 −3x − x = −4x, x − x = 0
5 −4x = 12 | :(−4) −1 + 1 = 0, 11 + 1 = 12
6 x = −3 12 : (−4) = −3

Sprawdzenie: L = 5 − 3·(−3 + 2) = 5 − 3·(−1) = 5 + 3 = 8, P = −3 + 11 = 8, więc L = P.

Odpowiedź

x = −3

Zadanie 4 z 5

Rozwiąż równanie. Zapisz działanie za kreską. Zakończ sprawdzeniem.

−6x + 8 = −2x − 12

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 −6x + 8 = −2x − 12 | +2x Zapis zadania. Po prawej jest −2x, więc dodaj 2x do obu stron.
2 −4x + 8 = −12 | −8 −6x + 2x = −4x, −2x + 2x = 0
Stop: sprawdź znaki. Czy po prawej zostało −12, a nie +12?
3 −4x = −20 | :(−4) 8 − 8 = 0, −12 − 8 = −20
4 x = 5 −20 : (−4) = 5

Sprawdzenie: L = −6·5 + 8 = −30 + 8 = −22, P = −2·5 − 12 = −10 − 12 = −22, więc L = P.

Odpowiedź

x = 5

Zadanie 5 z 5

Funkcja kwadratowa: f(x) = −x² − 2x + 7. Oblicz f(−3).

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 f(−3) = −(−3)² − 2·(−3) + 7 Za każde x wstaw (−3).
2 f(−3) = −9 − 2·(−3) + 7 (−3)² = 9. Minus przed potęgą zostaje.
Stop: sprawdź znaki. Czy −(−3)² dało −9?
3 f(−3) = −9 + 6 + 7 −2·(−3) = 6
4 f(−3) = −3 + 7 −9 + 6 = −3
5 f(−3) = 4 −3 + 7 = 4
Odpowiedź

f(−3) = 4

D4, niedziela 11.10: Znajdź błąd

Dziś: rozgrzewka (6 działań), 1 przykład, 5 zadań. Zadanie 5 jest z funkcji kwadratowej.

Rozgrzewka (6 działań)

Włącz stoper. Policz w pamięci i zapisz same wyniki. Zatrzymaj stoper i zapisz czas w dzienniku.

  1. −14 + 6 = ____
  2. −9 − (−2) = ____
  3. 5 − 18 = ____
  4. −7 − 7 = ____
  5. −16 + 19 = ____
  6. 10 − (−6) − 20 = ____
Odpowiedź
  1. −8
  2. −7
  3. −13
  4. −14
  5. 3
  6. −4

Policz dobre wyniki. Wpisz do dziennika liczbę z 6.

Przykład

Ktoś rozwiązał równanie 7 − 2x = 15. Rozwiązanie ma 1 błąd.

Linia Zapis
1 7 − 2x = 15 | −7
2 −2x = 8 | :(−2)
3 x = 4

Jak szukać błędu:

Nr Co sprawdzasz
1 Linia 1 → linia 2: działanie | −7 po obu stronach. 7 − 7 = 0, 15 − 7 = 8. Dobrze.
2 Linia 2 → linia 3: działanie | :(−2). 8 : (−2) = −4, a w linii 3 jest 4. Błąd.
3 Sprawdzenie podstawieniem x = 4: L = 7 − 2·4 = −1, P = 15. L i P są różne, więc wynik jest zły.
4 Nazwij błąd słowami: liczba dodatnia podzielona przez ujemną daje wynik ujemny. Ktoś zgubił minus.

Tak zapisz błąd:

Błąd: linia 3. 8 : (−2) = −4. Przy dzieleniu przez liczbę ujemną ktoś zgubił minus. Poprawna linia 3: x = −4

Poprawny wynik całego zadania (dodatek): x = −4

Zasady na dziś:

  • Porównaj każdą linię z linią powyżej.
  • Zapytaj: jakie działanie tu zrobiono? Policz je jeszcze raz.
  • Jeśli linia wynika z błędnej linii, ale jest dobrze policzona, to nie licz jej jako błędu.
  • Poprawną linię licz z linii powyżej, tak jak jest zapisana.
  • Dla każdego błędu zapisz: numer linii, co jest źle (słowami), poprawną linię.
  • Poprawny wynik całego zadania jest dodatkiem. Jeśli masz czas, to go policz.

Zadanie 1 z 5

Oblicz: −7 − (−11) + 4·(−3)

Rozwiązanie poniżej ma 1 błąd. Znajdź go i nazwij słowami. Zapisz numer linii i poprawną linię.

Linia Zapis
1 −7 − (−11) + 4·(−3)
2 −7 − (−11) − 12
3 18 − 12
4 6
Droga do rozwiązania
Nr Co sprawdzasz
1 Linia 1 → linia 2: 4·(−3) = −12. Dobrze.
2 Linia 2 → linia 3: −7 − (−11) = −7 + 11 = 4, a w linii 3 jest 18. Błąd.
3 Linia 3 → linia 4: 18 − 12 = 6. Dobrze policzone z linii 3.
Odpowiedź

Błąd: linia 3. −7 − (−11) policzone jak 7 + 11. Reguła „minus razy minus” użyta w odejmowaniu. Poprawnie −7 + 11 = 4. Poprawna linia 3: 4 − 12

Poprawny wynik całego zadania (dodatek): −8

Zadanie 2 z 5

Uprość: −4(3x − 2) − (x − 5)

Rozwiązanie poniżej ma 2 błędy. Znajdź każdy błąd i nazwij go słowami. Zapisz numer linii i poprawną linię.

Linia Zapis
1 −4(3x − 2) − (x − 5)
2 −12x − 8 − (x − 5)
3 −12x − 8 − x − 5
4 −13x − 13
Droga do rozwiązania
Nr Co sprawdzasz
1 Linia 1 → linia 2: −4·3x = −12x. Dobrze. −4·(−2) = 8, a w linii 2 jest −8. Błąd.
2 Linia 2 → linia 3: −(x − 5) = −x + 5, a w linii 3 jest −5. Błąd.
3 Linia 3 → linia 4: −12x − x = −13x, −8 − 5 = −13. Dobrze policzone z linii 3.
Odpowiedź

Błąd 1: linia 2. Zły znak przy 8. Minus razy minus daje plus: −4·(−2) = 8. Poprawna linia 2: −12x + 8 − (x − 5)

Błąd 2: linia 3. Minus przed nawiasem nie zmienił znaku przy 5: −(x − 5) = −x + 5. Poprawna linia 3: −12x − 8 − x + 5

Poprawna linia 3 wynika z błędnej linii 2 powyżej, więc nadal ma −8. Wynik całego zadania liczysz po poprawieniu obu błędów.

Poprawny wynik całego zadania (dodatek): −13x + 13

Zadanie 3 z 5

Rozwiąż nierówność: 5 − 3x > 2x + 20

Rozwiązanie poniżej ma 2 błędy. Znajdź każdy błąd i nazwij go słowami. Zapisz numer linii i poprawną linię.

Linia Zapis
1 5 − 3x > 2x + 20 | −2x
2 5 − 5x > 20 | −5
3 −5x > 20 | :(−5)
4 x > −4
Droga do rozwiązania
Nr Co sprawdzasz
1 Linia 1 → linia 2: | −2x po obu stronach. −3x − 2x = −5x, 2x − 2x = 0. Dobrze.
2 Linia 2 → linia 3: | −5 po obu stronach. Po lewej 5 − 5 = 0. Po prawej 20 − 5 = 15, a w linii 3 jest 20. Błąd.
3 Linia 3 → linia 4: | :(−5). 20 : (−5) = −4. Dobrze. Przy dzieleniu przez liczbę ujemną znak > zmienia się na <. W linii 4 jest nadal >. Błąd.
Odpowiedź

Błąd 1: linia 3. Odejmowanie 5 zrobione tylko po lewej stronie. Po prawej 20 − 5 = 15. Poprawna linia 3: −5x > 15

Błąd 2: linia 4. Dzielenie przez liczbę ujemną zmienia znak nierówności. Znak > nie zmienił się na <. Poprawna linia 4: x < −4

Poprawna linia 4 wynika z błędnej linii 3 powyżej: 20 : (−5) = −4. Wynik całego zadania liczysz po poprawieniu obu błędów.

Poprawny wynik całego zadania (dodatek): x < −3

Zadanie 4 z 5

Uprość: 3x² + 5x − 2x² − 9x + 4

Rozwiązanie poniżej ma 2 błędy. Znajdź każdy błąd i nazwij go słowami. Zapisz numer linii i poprawną linię.

Linia Zapis
1 3x² + 5x − 2x² − 9x + 4
2 8x² − 2x² − 9x + 4
3 6x² − 9x + 4
4 6x² − 5x
Droga do rozwiązania
Nr Co sprawdzasz
1 Linia 1 → linia 2: 3x² i 5x połączone w 8x². To wyrazy niepodobne. Błąd.
2 Linia 2 → linia 3: 8x² − 2x² = 6x². Dobrze policzone z linii 2.
3 Linia 3 → linia 4: −9x i 4 połączone w −5x. Wyraz z x i liczba bez x nie są podobne. Błąd.
Odpowiedź

Błąd 1: linia 2. Połączono wyrazy niepodobne: 3x² i 5x mają różne potęgi x. Poprawna linia 2: 3x² − 2x² + 5x − 9x + 4 albo każdy równoważny zapis bez łączenia 3x² z 5x.

Błąd 2: linia 4. Połączono wyraz z x z liczbą bez x: −9x i 4 nie są podobne. Linia 3 jest już końcem. Poprawna linia 4: 6x² − 9x + 4

Poprawna linia 4 wynika z linii 3, tak jak jest zapisana. Wynik całego zadania liczysz po poprawieniu obu błędów.

Poprawny wynik całego zadania (dodatek): x² − 4x + 4

Zadanie 5 z 5

Funkcja kwadratowa: f(x) = x² − 6x − 7. Oblicz Δ.

Rozwiązanie poniżej ma 1 błąd. Znajdź go i nazwij słowami. Zapisz numer linii i poprawną linię.

Linia Zapis
1 a = 1, b = −6, c = −7
2 Δ = (−6)² − 4·1·(−7)
3 Δ = −36 − 4·1·(−7)
4 Δ = −36 + 28
5 Δ = −8
Droga do rozwiązania
Nr Co sprawdzasz
1 Linia 1: współczynniki z f(x) = x² − 6x − 7 razem ze znakami. Dobrze.
2 Linia 2: wzór Δ = b² − 4ac z liczbami w nawiasach. Dobrze.
3 Linia 2 → linia 3: (−6)² = 36, a w linii 3 jest −36. Błąd.
4 Linia 3 → linia 4: −4·1·(−7) = 28. Dobrze.
5 Linia 4 → linia 5: −36 + 28 = −8. Dobrze policzone z linii 4.
Odpowiedź

Błąd: linia 3. Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni: (−6)² = (−6)·(−6) = 36. Poprawna linia 3: Δ = 36 − 4·1·(−7)

Poprawny wynik całego zadania (dodatek): Δ = 64

D5, poniedziałek 12.10: Przepisz i sprawdź. Uprość czy rozwiąż?

Dziś: rozgrzewka (6 działań), 1 przykład, 5 zadań. Zadanie 5 jest z funkcji kwadratowej.

Rozgrzewka (6 działań)

Włącz stoper. Policz w pamięci i zapisz same wyniki. Zatrzymaj stoper i zapisz czas w dzienniku.

  1. −16 + 9 = ____
  2. −8 − (−8) = ____
  3. 12 − 17 = ____
  4. −11 − 6 = ____
  5. −3 + (−12) = ____
  6. −9 − (−4) + 2 = ____
Odpowiedź
  1. −7
  2. 0
  3. −5
  4. −17
  5. −15
  6. −3

Policz dobre wyniki. Wpisz do dziennika liczbę z 6.

Przykład

Dwa zapisy wyglądają podobnie. Zadanie jest inne.

A. Uprość: 4x − 9 − 2x + 3

Nr Zapis Notatka
1 4x − 9 − 2x + 3 Zapis zadania. Nie ma znaku =, więc upraszczasz.
2 4x − 2x − 9 + 3 Wyrazy z x obok siebie.
3 2x − 9 + 3 4x − 2x = 2x
4 2x − 6 −9 + 3 = −6. Koniec. Nie dopisuj = 0.

Wynik A: 2x − 6. To wyrażenie, nie liczba.

B. Rozwiąż: 4x − 9 = 2x + 3

Nr Zapis Notatka
1 4x − 9 = 2x + 3 | −2x Zapis zadania. Jest znak =, więc rozwiązujesz.
2 2x − 9 = 3 | +9 4x − 2x = 2x, 2x − 2x = 0
3 2x = 12 | :2 −9 + 9 = 0, 3 + 9 = 12
4 x = 6 12 : 2 = 6

Sprawdzenie: L = 4·6 − 9 = 24 − 9 = 15, P = 2·6 + 3 = 12 + 3 = 15, więc L = P.

Wynik B: x = 6

Pułapka: jeśli do wyniku A dopiszesz „= 0”, to dostaniesz x = 3. To odpowiedź na inne zadanie.

Zasady na dziś:

  • Jeśli nie ma znaku =, to upraszczasz. Wynik to krótsze wyrażenie.
  • Jeśli jest znak =, to rozwiązujesz. Wynik to x = liczba.
  • Przepisuj w czterech krokach: czytaj, zapisz, czytaj kopię, odhacz. Kroki są w zadaniu 1.

Zadanie 1 z 5

Przepisz każdy zapis na kartkę. Nie licz.

Przy każdym zapisie zrób cztery kroki:

  1. Przeczytaj oryginał na głos.
  2. Zapisz go na kartce.
  3. Przeczytaj na głos swoją kopię.
  4. Odhacz wyraz po wyrazie.

a) −10 − (−8x) + 12 − 12x
b) −8x² + 16 − (−6x) − 19
c) 13 − (−18) − 3·(−8) + 8
d) −(−9x + 6) − 6x + 9
e) −12 + 12x − (−12x) − 2
f) 18x − 13 − (−3x) − (−18)

Droga do rozwiązania
Nr Krok Notatka
1 Przeczytaj oryginał na głos. Mów każdy znak: „minus”, „plus”, „nawias”.
2 Zapisz zapis na kartce. Pisz wyraz po wyrazie, nie cały zapis z pamięci.
3 Przeczytaj na głos swoją kopię. Patrz tylko na kartkę.
4 Odhacz wyraz po wyrazie. Porównaj znak i liczbę każdego wyrazu z oryginałem.

Wyrazy do odhaczenia:

  • a) −10, − (−8x), + 12, − 12x
  • b) −8x², + 16, − (−6x), − 19
  • c) 13, − (−18), − 3·(−8), + 8
  • d) −(−9x + 6), − 6x, + 9
  • e) −12, + 12x, − (−12x), − 2
  • f) 18x, − 13, − (−3x), − (−18)
Odpowiedź

Kopia jest dobra, jeśli każdy wyraz ma odhaczenie.

  • a) 4 wyrazy. Pułapki: −10 i −8x, +12 i −12x.
  • b) 4 wyrazy. Pułapki: 16 i 19, x² i x, podwójny minus przy 6x.
  • c) 4 wyrazy. Pułapki: 13 i 18, dwa razy 8, dwa podwójne minusy.
  • d) 3 wyrazy. Pułapki: 6 i 9 w nawiasie i za nawiasem, minus przed nawiasem.
  • e) 4 wyrazy. Pułapki: trzy razy 12 z różnymi znakami, 12 i 2.
  • f) 4 wyrazy. Pułapki: 18x i 18, 13 i 3x.

Jeśli znalazłeś różnicę, to popraw ją. Zapisz w kolumnie „Uwagi”, jaka to była pomyłka.

Zadanie 2 z 5

Przy każdym zapisie napisz U (uprość) albo R (rozwiąż). Nie licz jeszcze.

A. 3x − 7 − 5x + 2
B. −2(x − 4) = 3x − 7
C. 6 − 4(2x − 3)
D. 9 − x = −2x + 5

Droga do rozwiązania
Nr Krok Notatka
1 Przeczytaj zapis A. Szukaj znaku =. Patrz na cały zapis, nie tylko na początek.
2 Jeśli nie ma znaku =, to napisz U. Wynik będzie krótszym wyrażeniem.
3 Jeśli jest znak =, to napisz R. Wynik będzie w postaci x = liczba.
4 Powtórz kroki 1–3 dla B, C i D.
Odpowiedź

A: U, B: R, C: U, D: R.

Zadanie 3 z 5

Wykonaj dla zapisu C z zadania 2 to, co zaznaczyłeś (U albo R): 6 − 4(2x − 3). Najpierw otwórz „Odpowiedź” w zadaniu 2.

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 6 − 4(2x − 3) Zapis zadania. Nie ma znaku =. Narysuj strzałki od −4 do 2x i do −3.
2 6 − 8x + 12 −4·2x = −8x, −4·(−3) = 12
Stop: sprawdź znaki. Czy −4·(−3) dało +12?
3 −8x + 6 + 12 Wyraz z x na początek.
4 −8x + 18 6 + 12 = 18. Koniec. Nie dopisuj = 0.
Odpowiedź

−8x + 18

Zadanie 4 z 5

Wykonaj dla zapisu B z zadania 2 to, co zaznaczyłeś (U albo R): −2(x − 4) = 3x − 7. Zakończ sprawdzeniem.

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 −2(x − 4) = 3x − 7 Zapis zadania. Jest znak =. Narysuj strzałki od −2 do x i do −4.
2 −2x + 8 = 3x − 7 | −3x −2·x = −2x, −2·(−4) = 8
Stop: sprawdź znaki. Czy −2·(−4) dało +8? Czy po prawej nadal jest −7?
3 −5x + 8 = −7 | −8 −2x − 3x = −5x, 3x − 3x = 0
4 −5x = −15 | :(−5) 8 − 8 = 0, −7 − 8 = −15
5 x = 3 −15 : (−5) = 3

Sprawdzenie: L = −2·(3 − 4) = −2·(−1) = 2, P = 3·3 − 7 = 9 − 7 = 2, więc L = P.

Odpowiedź

x = 3

Zadanie 5 z 5

Funkcja kwadratowa: f(x) = −x² − 5x − 6. Oblicz Δ.

Wskazówka: tu a też jest liczbą ujemną.

Droga do rozwiązania
Nr Zapis Notatka
1 a = −1, b = −5, c = −6 Odczytaj współczynniki razem ze znakami. −x² to −1·x².
2 Δ = b² − 4ac Wzór.
3 Δ = (−5)² − 4·(−1)·(−6) Wstaw liczby. Liczby ujemne wstaw w nawiasach.
4 Δ = 25 − 4·(−1)·(−6) (−5)² = 25
Stop: sprawdź znaki. Ile minusów jest w iloczynie 4·(−1)·(−6)? Dwa, więc iloczyn jest dodatni.
5 Δ = 25 − 24 4·(−1)·(−6) = 24
6 Δ = 1 25 − 24 = 1
Odpowiedź

Δ = 1